Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C 1 N - C 2 N = 5. Tìm hệ số a của x^4

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Phương pháp: 

+) Tổ hợp chập k của n phần tử:

$C_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}.$ 

+) Công thức khai triển nhị thức Newton:

${\left(x+y\right)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i.y^{n-i}.$ 

Cách giải:

$5C_n^1-C_n^2=5,\left(n\in N,n\ge 2\right)$ 

$$\begin{gathered} \iff 5n-\frac{n\left(n-1\right)}{2}=5 \\ \iff 10n-n^2+n=0 \\ \iff n^2-1\ln +10=0 \\ \iff n=10 \end{gathered}$$ 

Khi đó,

$$\begin{gathered} {\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^n={\left(2x+x^{-2}\right)}^{10} \\ =\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{\left(2x\right)}^i.{\left(x^{-2}\right)}^{10-i}=\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{2}^i{x}^{3i-20} \end{gathered}$$ 

Số hạng chứa $x^4$ trong khai triển ứng với i thỏa mãn

$3i-20=4\iff i=8$ 

Hệ số a của $x^4$ trong khai triển:

$a=C_{10}^8{2}^8=11520.$