Cho hàm số y = 2x - 3 có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương pháp: 

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(a,c,ad-cd\ne 0\right)$ có

TXĐ: $x=-\frac{d}{c},TCN:y=\frac{a}{c}.$ 

Cách giải:

TXĐ: $D=R\backslash \left\{2\right\}$ 

$y=\frac{2x-3}{x-2}\left(C\right)$ có 2 đường tiệm cận: $x=2,y=2$ 

Ta có $y\text{'}=\frac{-1}{{\left(x-2\right)}^2}$ 

Gọi $M\left(x_0;y_0\right),\left(x_0\ne 0\right)$ là tiếp điểm. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :

$$\begin{gathered} y=y\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0 \\ \iff y=-\frac{x-x_0}{{\left(x_0-2\right)}^2}+\frac{2x_0-3}{x_0-2}\left(d\right) \end{gathered}$$ 

Cho

$$\begin{gathered} x=2\Rightarrow y=\frac{1}{x_0-2}+\frac{2x_0-3}{x_0-2} \\ =\frac{2x_0-2}{x_0-2}\Rightarrow \left(d\right) \end{gathered}$$ 

cắt TCĐ của (C) tại điểm

$A\left(2;\frac{2x_0-2}{x_0-2}\right).$ 

Cho

$$\begin{gathered} x=2\Rightarrow 2 \\ =-\frac{x-x_0}{{\left(x_0-2\right)}^2}+\frac{2x_0-3}{x_0-2} \\ \iff 2{\left(x_0-2\right)}^2 \\ =-x+x_0+\left(2x_0-3\right)\left(x_0-2\right) \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff 2x_0^2-8x_0+8 \\ =-x+x_0+2x_0^2-7x_0+6 \\ \iff x=2x_0-2\Rightarrow \left(d\right) \end{gathered}$$ 

cắt TCN của (C) tại điểm

$B\left(2x_0-2;2\right)$ 

Độ dài đoạn AB:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(2-\left(2x_0-2\right)\right)}^2+{\left(\frac{2x_0-2}{x_0-2}-2\right)}^2} \\ =2\sqrt{2}\iff 4{\left(x_0-2\right)}^2+{\left(\frac{2}{x_0-2}\right)}^2=8 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff {\left(x_0-2\right)}^4-2{\left(x_0-2\right)}^2+1=0 \\ \iff {\left[{\left(x_0-2\right)}^2-1\right]}^2=0 \\ \iff {\left(x_0-2\right)}^2=1 \end{gathered}$$ 

Hệ số góc của tiếp tuyến

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(x_0\right)=-\frac{1}{{\left(x_0-2\right)}^2} \\ =-\frac{1}{1}=-1. \end{gathered}$$