Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, SA vuông

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Phương pháp:

- Phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian:

$$\begin{gathered} d\left({\Delta }_1;{\Delta }_2\right)=\frac{\left|\overrightarrow{M_1{M}_2}.\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]\right|}, \\ \left(M_1\in {\Delta }_1;M_2\in {\Delta }_2\right) \end{gathered}$$ 

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ (như hình vẽ): 

$$\begin{gathered} A\left(0;0;0\right),B\left(0;a;0\right), \\ C\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right),S\left(0;0;3a\right) \end{gathered}$$ 

M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC

$\Rightarrow M\left(0;\frac{a}{2};0\right),N\left(\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};\frac{3a}{2}\right)$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AN}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a}{4};\frac{3a}{2}\right); \\ \overrightarrow{CM}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0\right) \end{gathered}$$ 

Đường thẳng AN có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}=\left(\sqrt{3};1;6\right),$ 

đi qua điểm $A\left(0;0;0\right).$ 

Đường thẳng CM có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}=\left(1;0;0\right),$ đi qua điểm $A\left(0;\frac{a}{2};0\right).$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}=\left(0;\frac{a}{2};0\right),\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right] \\ =\left(0;6;-1\right) \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} d\left(AN;CM\right) \\ =\frac{\left|\overrightarrow{AM}.\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]\right|} \\ =\frac{\left|0.0+\frac{a}{2}.6+0.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{0^2+6^2+1^2}} \\ =\frac{3a}{\sqrt{37}} \end{gathered}$$