Cho hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Phương pháp: 

Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi Rl$ 

Cách giải:

Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow OM\perp AB.$ Mà $OM\perp SO$ (vì SO vuông góc với đáy)

$\Rightarrow$ OM là đoạn vuông góc chung của SO và AB

$\Rightarrow d\left(SO;AB\right)=OM=3$ 

Tam giác OMA vuông tại M: 

$$\begin{gathered} O{A}^2=O{M}^2+M{A}^2 \\ \Rightarrow R^2=3^2+M{A}^2 \\ \Rightarrow MA=\sqrt{R^2-9} \end{gathered}$$ 

Tam giác SAB vuông tại A có $SA=SB$ (Vì $\Delta SOB=\Delta SOA\left(c.g.c\right)$)

$\Rightarrow \Delta SAB$ vuông cân tại S

$$\begin{gathered} \Rightarrow SA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2AM}{\sqrt{2}} \\ =AM.\sqrt{2}=\sqrt{3R^2-18} \end{gathered}$$ 

(N) có góc ở đỉnh là

${120}^0\Rightarrow ASO={60}^0$ 

Tam giác SOA vuông tại O: 

$$\begin{gathered} \sin OSA=\frac{OA}{SA}\Rightarrow \sin {60}^0 \\ =\frac{R}{\sqrt{3R^2-18}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2R \\ =\sqrt{3}.\sqrt{3R^2-18} \\ \iff 4R^2=6R^2-54 \end{gathered}$$

$\iff R^2=27\Rightarrow R=3\sqrt{3}.$

$$\begin{gathered} l=SA=\sqrt{2R^2-18} \\ =\sqrt{2.27-18}=\sqrt{36}=6 \end{gathered}$$

$S_{xq}=\pi Rl=\pi .3\sqrt{3}.6=18\pi \sqrt{3}$