Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên R và tích phân từ -1 đến 1 f(2x)dx / 1 + 2^x = 8. Tính

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phương pháp: 

Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Cách giải:

Đặt $t=-x\iff dx=-dt.$

Đổi cận: $x=-1\to x=-1\to t=1$ 

$$\begin{gathered} I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(2x\right)dx}{1+2^x} \\ =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(-2\right)\left(-dt\right)}{1+2^{-t}} \\ =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{2^{t}f\left(2t\right)dt}{1+2^t} \end{gathered}$$

(Vì $y=f\left(x\right)$ là hàm số chẵn)

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2I \\ ={\int }_{-1}^1\frac{f\left(2x\right)dx}{1+2^x}+{\int }_{-1}^1\frac{2^{x}f\left(2x\right)dx}{1+2^x} \\ ={\int }_{-1}^{1}f\left(2x\right)dx\Rightarrow \\ {\int }_{-1}^{1}f\left(2x\right)dx=2.8=16 \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow {\int }_{-1}^{0}f\left(2x\right)dx+{\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=16$ 

Do $y=f\left(x\right)$ là hàm số chẵn nên

$\Rightarrow {\int }_{-1}^{0}f\left(2x\right)dx={\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2{\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=16 \\ \Rightarrow {\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=8 \end{gathered}$$ 

Đặt

$2x=m\iff 2xdx=dm\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dm.$

Đổi cận

$x=0\to m=0,x=1\to m=2$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(m\right)dm=8\Rightarrow {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=16 \end{gathered}$$