Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối 4 trung điểm

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương pháp: 

Nếu $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội $q\ne 1$ thì $S_n$ được tính theo công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}.$

Cách giải:

Hình vuông ABCD cạnh a $\Rightarrow S_1=a^2$ 

Hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow S_2=\frac{a^2}{2}$

Hình vuông $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ có cạnh bằng

$\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{a}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\Rightarrow S_3=\frac{a^2}{2^2}$ 

……

Hình vuông $A_{99}{B}_{99}{C}_{99}{D}_{99}$ có cạnh bằng $\frac{a}{{\left(\sqrt{2}\right)}^{99}}\Rightarrow S_{100}=\frac{a^2}{2^{99}}$ 

$$\begin{gathered} S=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_{100} \\ =\frac{a^2}{2^0}+\frac{a^2}{2^1}+\frac{a^2}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{a^2}{2^{99}} \\ =\frac{a^2.\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}\right)}{1-\frac{1}{2}} \\ =\frac{a^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{100}}.2=\frac{a^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}} \end{gathered}$$