Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) của tham số m để bất

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương pháp: 

Bất phương trình $m\ge f\left(x\right),x\in D$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \underset{D}{Min}f\left(x\right).$ 

Cách giải:

ĐKXĐ: $0<x<1$

$$\begin{gathered} 3\log x\le 2\log \left(m\sqrt{x-x^2}-\left(1-x\right)\sqrt{1-x}\right) \\ \iff m\sqrt{x-x^2}-\left(1-x\right)\sqrt{1-x}\ge x\sqrt{x} \end{gathered}$$

$\iff m\ge \frac{x\sqrt{x}+\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-x^2}},x\in \left(0;1\right)$

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thực thì $m\ge \underset{\left(0;1\right)}{Min}f\left(x\right),$ $f\left(x\right)=\frac{x\sqrt{x}+\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-x^2}}$ 

Xét

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x\sqrt{x}+\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-x^2}} \\ =\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)\left(1-\sqrt{x\left(x-1\right)}\right)}{\sqrt{x\left(x-1\right)}}, \\ x\in \left(0;1\right) \end{gathered}$$ 

Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x},t\in \left(1;\sqrt{2}\right]$ 

Khi đó,  

$$\begin{gathered} f\left(x\right) \\ =\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)\left(1-\sqrt{x\left(1-x\right)}\right)}{\sqrt{x\left(1-x\right)}} \\ =\frac{t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)}{\frac{t^2-1}{2}} \\ =\frac{t\left(3-t^2\right)}{t^2-1}=\frac{3t-t^3}{t^2-1}=g\left(t\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=\frac{-t^4-3}{{\left(t^2-1\right)}^2}<0, \\ \forall t\in \left(1;\sqrt{2}\right] \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow g{\left(t\right)}_{\min }=g\left(\sqrt{2}\right) \\ =\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2-1}=\sqrt{2} \\ \Rightarrow \underset{\left(0;1\right)}{Min}f\left(x\right)=\sqrt{2}\Rightarrow m\ge \sqrt{2} \end{gathered}$$ 

Mà

$$\begin{gathered} m\in \left(-9;9\right) \\ \Rightarrow m\in \left\{2;3;4;\mathrm{...};8\right\}\Rightarrow \end{gathered}$$

Có 7 giá trị thỏa mãn.