Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức Côsin:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Cách giải:

Dựng hình bình hành ABCD (tâm I). Khi đó, A’B’CD là hình bình hành (do $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$)

$$\begin{gathered} \Rightarrow A\text{'}D//B\text{'}C \\ \Rightarrow \left(A\text{'}B;B\text{'}C\right)=\left(A\text{'}B;A\text{'}D\right) \end{gathered}$$ 

Tam giác ABC vuông tại A 

$$\begin{gathered} \Rightarrow BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2} \\ =\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=2a \end{gathered}$$ 

H là trung điểm của BC

$\Rightarrow HB=HC=a$

Tam giác A’BH vuông tại H

$$\begin{gathered} \Rightarrow A\text{'}B=\sqrt{A\text{'}{H}^2+H{B}^2} \\ =\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a \end{gathered}$$ 

Tam giác ABC vuông tại A

$$\begin{gathered} \Rightarrow \cos ABC \\ =\frac{AB}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$ 

ABCD là hình bình hành

$$\begin{gathered} \Rightarrow AB//CD\Rightarrow DCB \\ ={180}^0-ABC\Rightarrow \cos DCB \\ =-c\text{osABC=-}\frac{1}{2} \end{gathered}$$

 Tam giác BCD:

$$\begin{gathered} BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2-2BC.CD.\cos DCB} \\ =\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2-2.2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{7} \end{gathered}$$ 

Tam giác CDH:

$$\begin{gathered} DH=\sqrt{C{H}^2+C{D}^2-2CH.CD.\cos DCB} \\ =\sqrt{a^2+a^2-2a.a.\frac{-1}{2}}=a\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

Tam giác A’DH vuông tại H:

$$\begin{gathered} A\text{'}D=\sqrt{A\text{'}{H}^2+H{D}^2} \\ =\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=a\sqrt{6} \end{gathered}$$ 

Tam giác A’BH:

$$\begin{gathered} \mathrm{cosBA}\text{'}D=\frac{A\text{'}{D}^2+A\text{'}{B}^2-B{D}^2}{2A\text{'}D.A\text{'}B} \\ =\frac{{\left(a\sqrt{6}\right)}^2+{\left(2a\right)}^2-{\left(\sqrt{7}a\right)}^2}{2.a\sqrt{6}.2a} \\ =\frac{3}{4\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{8}. \end{gathered}$$