Cho lăng trụ tam giác ABC.MNP có thể tích V. Gọi G1; G2; G3; G4

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Phương pháp

So sánh diện tích đáy và chiều cao của các khối chóp.

Cách giải

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC.

Vì $G_2;G_3;G_4$ là trọng tâm các tam giác MAC, MAB, MBC nên 

$\begin{array}{l}{G}_2\in MD;M{G}_2=2D{G}_2\\ G_3\in ME;M{G}_3=2E{G}_3\\ G_4\in MF;M{G}_4=2F{G}_4\\ \Rightarrow \left(G_2{G}_3{G}_4\right)//\left(DEF\right)\\ \Rightarrow V_1=V_{E.G_2{G}_3{G}_4}=\frac{F{G}_3}{M{G}_3}.V_{M.G_2{G}_3{G}_4}=\frac{1}{2}{V}_{M.G_2{G}_3{G}_4}\end{array}$

Lại có 

$$\begin{gathered} \frac{V_{M.G_2{G}_3{G}_4}}{V_{MDEF}}=\frac{M{G}_2.M{G}_3.M{G}_4}{MD.ME.MF} \\ =\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_1=\frac{1}{2}\frac{8}{27}{V}_{MDEF} \\ =\frac{4}{27}{V}_{MDEF} \end{gathered}$$

Lại có 

$$\begin{gathered} S_{DEF}\text{=}\frac{1}{4}{S}_{ABC} \\ \Rightarrow {\text{V}}_{M.DEF}\text{=}\frac{1}{4}{V}_{M.ABC} \\ =\frac{1}{4}.\frac{1}{3}V=\frac{1}{12}V \end{gathered}$$

Vậy 

$V_1=\frac{4}{27}.\frac{V}{12}=\frac{V}{81}$