Giải thích các bước giải:

a.Áp dụng định lý py-ta-go trong tam giác vuông AHB:

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHB vuông tại H có HE vuông góc AB:

$AH^2=AE.AB⇒AE=\frac{AH^2}{AB}=3,2(cm)$

$tanB=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{4}⇒B=37^)$

b. Áp dụng định lý py-ta-go:

$AH^2=AB^2-BH^2$

$AH^2=AC^2-CH^2$

$⇒AB^2-BH^2=AC^2-CH^2⇒AB^2+CH^2=AC^2+BH^2$

c. Nếu $AH^2=BH.HC⇒ \frac{AH}{HC}=\frac{BH}{HA}$

⇒ Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA

\(\widehat {BAH} = \widehat C \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat B = \widehat C + \widehat B = {90^0} \Rightarrow \widehat A = {90^0}\)

⇒ Tam giác ABC vuông tại A

⇒ Tứ giác AEHF có 3 góc vuông⇒ AEHF là hình chữ nhật

d. \(\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\\
{S_{AEF}} = \frac{1}{2}AE.AF.\sin A\\
 \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AEF}}}} = \frac{{AB.AC}}{{AE.AF}}\\
\sin \widehat B = \sin \widehat {AHE} = \frac{{AE}}{{AH}};\sin \widehat B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\widehat B}}\\
\sin \widehat C = \sin \widehat {AHF} = \frac{{AF}}{{AH}};\sin \widehat C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\widehat C}}\\
 \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AEF}}}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\widehat B.{{\sin }^2}\widehat C}} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{S_{AEF}}}}{{{{\sin }^2}\widehat B.{{\sin }^2}\widehat C}}
\end{array}\)