Giải thích các bước giải:

a.Ta có $M, D$ là trung điểm $BC, BA$

$\to MD$ là đường trung bình $\Delta ABC\to MD//AC$

Mà $AC\perp AB\to MD\perp AB$

Ta có $MD\perp AB, ME\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADME$ là hình chữ nhật

b.Ta có $M, P$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $MP$

Mà $ME\perp AC\to MP\perp AC=E$ là trung điểm mỗi đường

$\to AC$ là trung trực của $MP$

$\to AM=AP, CM=CP$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, M$ là trung điểm $BC$

$\to MA=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to AM=MC=CP=PA$

$\to AMCP$ là hình thoi

c.Ta có $AMCP$ là hình thoi, $AC\cap MP=E$

$\to E$ là trung điểm $AC$

$\to AB=\dfrac12AC=AE=EC$ vì $AC=2AB$

Mà $\hat A$ vuông tại $A\to\Delta ABE$ vuông cân tại $A$

Ta có $MD//AC\to MI//CE$

Mà $M$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $BE$

$\to AI\perp BE$

Gọi $AH\cap BI=F$

$\to \widehat{AFI}=\widehat{BFH}$

Mà $\widehat{AIF}=\widehat{BHF}(=90^o)$

$\to\Delta AFI\sim\Delta BFH(g.g)$

$\to \dfrac{AF}{BF}=\dfrac{FI}{FH}$

$\to \dfrac{AF}{FI}=\dfrac{BF}{FH}$

Mà $\widehat{AFB}=\widehat{HFI}$

$\to\Delta AFB\sim\Delta IFH(c.g.c)$

$\to \widehat{IHF}=\widehat{ABF}=\widehat{ABE}=45^o$ do $\Delta ABE$ vuông cân tại $E$

$\to \widehat{AHI}=\dfrac12\widehat{AHC}$ vì $\widehat{AHC}=90^o$

$\to HI$ là phân giác $\widehat{AHC}$

$\to đpcm$