Đáp án:

a) Tứ giác AMHN là hình thoi

b) Tứ giác AHCK là hình chữ nhật

c) $S_{AHCK}=12cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của BC (gt)

$\to$ MH là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MH//AC, MH=\dfrac{1}{2}AC$

Xét tứ giác AMHN:

$MH//AN\,\,\,(MH//AC, H\in AC)\\MH=AN\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác AMHN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta có:

$\triangle ABC$ cân tại A

$\to AB=AC\\\to AM=MB=AN=NC$

$\to$ Tứ giác AMHN là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)

b)

Xét tứ giác AHCK:

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của HK (gt)

$\to$ Tứ giác AHCK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $\triangle ABC$ cân tại A, đường trung tuyến AH

$\to$ AH đồng thời là đường cao

$\to AH\bot BC\to AH\bot HC$

$\to$ Tứ giác AHCK là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

c)

Xét $\triangle AHC$ vuông tại H:

$AH^2+HC^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{AC^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$

$\to S_{AHCK}=AH.HC=4.3=12(cm^2)$