a/ $N$ đối xứng $H$ qua $D$

$→D$ là trung điểm $NH$

Xét tứ giác $AHCN$:

$D$ là trung điểm $AC,NH$

$→AHCN$ là hình bình hành

mà $\widehat{AHC}=90^\circ$ ($AH$ là đường cao $BC$)

$→AHCN$ là hình chữ nhật

b/ $AHCN$ là hình chữ nhật

$→\begin{cases}AN//HC\\AN=HC\end{cases}$

Xét $ΔABC$ cân tại $A$:

$AH$ là đường cao $BC$

$→AH$ là đường trung tuyến $BC$

$→HB=HC$ mà $AN=HC$

$→AN=HB$

$AN//HC$ hay $AN//HB$

Xét tứ giác $ABHN$:

$AN=HB$ và $AN//HB(cmt)$

$→ABHN$ là hình bình hành

c/ $AH$ là đường trung tuyến $BC$

$→HB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3(cm)$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔAHB$ vuông tại $H$:

$AH^2+HB^2=AB^2$ hay $AH^2+3^2=5^2$

$↔AH^2+9=25\\↔AH^2=16\\→AH=4(AH>0)$

$AN=HB$ mà $HB=3cm$

$→AN=4cm$

$S_{AHCN}=AN.AH=3.4=12(cm^2)$

Vậy $S_{AHCN}=12(cm^2)$