Đáp án:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

b) Tứ giác BDFE là hình bình hành

c) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

d) M và N đối xứng nhau qua A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AEDF :

$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)

Xét $\triangle ABC$:

$DE//AC\,\,\,(\bot AB)$

D là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ E là trung điểm của AB

$\to DE=\dfrac{1}{2}AC$

Chứng minh tương tự

$\to$ F là trung điểm của AC

$\to DF=\dfrac{1}{2}AB$

Xét tứ giác BDFE:

$DF//BE\,\,\,(DF//AB)\\DF=BE\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)$

$\to$ Tứ giác BDFE là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

c)

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Tứ giác AEDF là hình vuông

$\to AE=AF\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác AEDF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

d)

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (cmt)

$\to DE//AF\to ME//AF, DE=AF\to ME=AF$

$\to DF//EA\to FN//EA, DF=EA\to FN=EA$

Xét tứ giác MEAF:

$ME//AF$ (cmt)

$ME=AF$ (cmt)

$\to$ Tứ giác MEAF là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to MA//EF$ (1)

$\to MA=EF$ (2)

Xét tứ giác FNEA:

$FN//EA$ (cmt)

$FN=EA$ (cmt)

$\to$ Tứ giác FNEA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

$\to NA//EF$ (3)

$\to NA=EF$ (4)

Từ (1), (3) $\to$ M, A, N thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)

Từ (2), (4) $\to MA=NA$

$\to$ A là trung điểm của MN

$\to$ M và N đối xứng nhau qua A