Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a/ Xét `ΔAMB``và``ΔAMC` có:

`AB=AC` (gt)

`MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`)

`AM` chung

`⇒ΔAMB=ΔAMC` (c.c.c)

`⇒\hat{MAB}=\hat{MAC}` (cặp góc tương ứng)

`⇒AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

Vậy `ΔAMB=ΔAMC` và `AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`

b/ Xét `ΔAMI` và `ΔCNI` có:

`AI=IC` (`I` là trung điểm của `AC`)

`IN=IM` (gt)

`\hat{AID}=\hat{MIC}` (đối đỉnh)

`⇒ΔAMI=ΔCNI` (c.g.c)

c/ - Có `ΔAMI=ΔCNI` (câu b)

`⇒AI=CI` (cặp cạnh tương ứng)

- Xét `ΔAIM` và `ΔCNI` có:

`AI=CI` (cmt)

`\hat{AIM}=\hat{CIN}` (đối đỉnh)

`IN=IM` (gt)

`⇒ΔAIM=ΔCIN` (c.g.c)

`⇒\hat{IAM}=\hat{IAN}` (cặp góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`⇒AM//NC` (1)

- Có `ΔAMB=ΔAMC` (câu a)

`⇒\hat{AMB}=\hat{AMC}` (cặp góc tương ứng) 
mà `\hat{AMB}+\hat{AMC}=180^0` (kề bù)

`⇒\hat{AMB}=\hat{AMC}={180^0}/2=90^0`

`⇒AM⊥BC` `(2)`

Từ `(1)(2)⇒NC⊥BC` (từ vuông góc đến song song)

------------------------------------------------------------

@Changg_Aquatic World

Giải thích các bước giải:

Xét $ΔABM$ và $ΔACM$ có :

$AM$ cạnh chung

$AB$ = $AC$ ( gt )

$BM$ = $CM$ ( gt )

$⇒$ $ΔABM$ = $ΔACM$ ( c.c.c )

$⇒$ $\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ ( 2 góc tương ứng )

Ta có :

$AM$ ∈ $\widehat{BAC}$ ( gt )

$\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ ( cmt )

$⇒$ $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

b ) 

Xét $ΔAMI$ và $ΔCNI$ có :

$\widehat{AIM}$ = $\widehat{CIN}$ ( đối đỉnh )

$AI$ = $CI$ ( gt )

$MI$ = $NI$ ( gt )

$⇒$ $ΔAMI$ = $ΔCNI$ ( c.g.c )

c )

Xét $ΔABC$ có :

$AB$ = $AC$ ( gt )

$⇒$ $ΔABC$ cân tại $A$

Ta có :

$AM$ là phân giác ( cmt )

$BM$ = $CMA$ ( gt )

$ΔABC$ cân tại $A$

$⇒$ $AM$ là trung trực đồng thời là phân giác

$⇒$ $AM$ ⊥ $BC$

Hay cách khác :

Ta có :

$\widehat{BMA}$ + $\widehat{CM}$ = $180^{o}$ ( kề bù )

Mà : $\widehat{BMA}$ = $\widehat{CMA}$ ( $ΔABM$ = $ΔACM$ )

$⇒$ $\widehat{BMA}$ = $\widehat{CMA}$ = $\frac{180}{2}$ = $90^{o}$ 

$⇒$ $AM$ ⊥ $BC$

Ta có :

$\widehat{AMI}$ = $\widehat{CNI}$ ( $ΔAMI$ = $ΔCNI$ )

Mà 2 góc này lại ở vị trí so le trong

$⇒$ $AM$ // $NC$

$⇒$ $\widehat{BMA}$ = $\widehat{NCM}$ = $90^{o}$ ( đồng vị )

$⇒$ $NC$ ⊥ $BC$ ( đpcm )