a) Ta có: $K$ là trung điểm cạnh $AB$

$M$ là trung điểm cạnh $BC$

$\Rightarrow KM$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow KM=\dfrac{1}{2}AC=AI$ (1) (do $I$ là trung điểm cạnh $AC$)

Tương tự $MI$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow MI=\dfrac{1}{2}AB=AK$ (2) (do $K$ là trung điểm cạnh $AB$)

Mà $AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $KM=AI=MI=AK$ (vì $=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$)

$\Rightarrow $ tứ giác $AKMI$ là hình thoi.

 

b) Tứ giác $AMCN$ có 2 đường chéo $AC$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường

nên tứ giác $AMCN$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ cũng là đường cao

$\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow \widehat{AMC}=90^o$

Tứ giác $AMCN$ là hình bình hành có $\widehat{AMC}=90^o$

$\Rightarrow $ tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật

 

$\Delta ABC$ có $K$ là trung điểm $AB$

và $I$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow KI$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow KI\parallel BC$ hay $KI\parallel MC$

và $KI=\dfrac{1}{2}BC=MC$ (do $M$ là trung điểm cạnh $BC$)

Tứ giác $MKIC$ có $KI\parallel=MC$

$\Rightarrow $ tứ giác $MKIC$ là hình bình hành

 

c) Tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật suy ra

$AN=MC\Rightarrow AN=BM$

Và $AN\parallel MC\Rightarrow AN\parallel BM$

Tứ giác $ABMN$ có $AN\parallel=BM$

$\Rightarrow $ tứ giác $ABMN$ là hình bình hành

Do đó giao điểm của 2 đường chéo là trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AM$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $BN$ (đpcm)

 

d) Tứ giác $AMCN$ là hình chữ nhật

Để $AMCN$ là hình vuông thì $AM=MC\Rightarrow \Delta AMC$ cân đỉnh $M$

Mà $\widehat{AMC}=90^o$

$\Rightarrow\Delta AMC$ vuông cân đỉnh $M$

$\Rightarrow\widehat{ACM}=45^o$

$\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $\widehat{ACM}=45^o$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$