Xét tứ giác `AEHF` có:

`\hat{AEH}+\hat{A FH}=90°+90°=180°`

`=>A EHF` nội tiếp 

`=>\hat{AHE}=\hat{A FE}` (cùng chắn cung `AE)`

`=>180°-\hat{AHE}=180°-\hat{A FE}`

`=>\hat{EHI}=\hat{E FB}` `(1)`

$\\$

Gọi `I` là giao điểm của `AH` và `BC`

Vì `H` là trực tâm `∆ABC`

`=>AI`$\perp BC$ tại `I`

$\\$

Xét tứ giác `ECIH` có:

`\hat{CEH}+\hat{CIH}=90°+90°=180°`

`=>ECIH` nội tiếp 

`=>\hat{HIE}=\hat{HCE}` (cùng chắn cung `HE)`

Ta có:

`\hat{HCE}=\hat{FBE}` (cùng phụ `\hat{BAE}`)

`=>\hat{HIE}=\hat{FBE}` `(2)`

$\\$

Ta có:

`\hat{DBI}=\hat{DAC}` (cùng chắn cung $DC$)

`\hat{HBI}=\hat{DAC}` (cùng phụ `\hat{ACI})`

`=>\hat{DBI}=\hat{HBI}`

`=>BI` là phân giác `\hat{DBH}`

`=>BI` vừa là phân giác và đường cao của `∆BDH`

`=>∆BDH` cân tại $B$

`=>BI` cũng là trung tuyến của `∆BDH`

`=>I` là trung điểm $DH$

`=>HD=2HI`

$\\$

Xét $∆EHI$ và $∆E FB$ có:

`\qquad \hat{EHI}=\hat{E FB}` (từ `(1)`)

`\qquad \hat{HIE}=\hat{FBE}` (từ `(2)`)

`=>∆EHI∽∆E FB` (g-g)

`=>{EH}/{E F}={HI}/{FB}`

Gọi `M` là trung điểm $E F$

 `=>E F=2MF`

`=>{2EH}/{2M F}={2HI}/{FB}`

`=>{EH}/{M F}={HD}/{FB}` (vì `HD=2HI)`

$\\$

Xét $∆EHD$ và $∆MFB$ có:

`\qquad \hat{EHD}=\hat{MFB}` (do `\hat{EHI}=\hat{E FB})`

`\qquad {EH}/{M F}={HD}/{FB}`

`=>∆EHD∽∆M FB` (c-g-c)

`=>\hat{EDH}=\hat{MBF}`

Ta có:

`\hat{EDH}=\hat{GBA}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AG)`

`=>\hat{MBF}=\hat{GBA}`

`=>M\in BG`

Vậy $BG$ đi qua trung điểm `M` của `E F`