Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MI\perp BC,MH\perp AC, MK\perp AB$ 

$\to \widehat{MIB}+\widehat{MKB}=90^o+90^o=180^o$

$\to \Diamond MIBK$ nội tiếp

Tương tự $\Diamond CIMH$ nội tiếp

b.Vì $\Diamond MIBK,\Diamond MICH$ nội tiếp 

        $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}=\widehat{MCH}=\widehat{MIH}$

Tương tự $\widehat{MIK}=\widehat{MHI}$

$\to\Delta MIK\sim\Delta MHI(g.g)$

$\to\dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MK}{MI}\to MI^2=MH.MK$

c.Ta có:
$\widehat{MIC}=\widehat{MKB}=90^o,\widehat{KBM}=\widehat{MCI}$ vì AB là tiếp tuyến của (O)

$\to \Delta MKB\sim\Delta MIC(g.g)$

$\to \widehat{KMB}=\widehat{IMC}$

Mà $\widehat{KMB}=\widehat{KIB}$ vì $\Diamond KMIB $ nội tiếp

$\to \widehat{KIB}=\widehat{IMC}$

Tương tự $\widehat{BMI}=\widehat{HIC}$

$\to \widehat{BMC}=\widehat{BMI}+\widehat{IMC}=\widehat{HIC}+\widehat{KIB}$

$\to \widehat{BMC}+\widehat{EIF}=\widehat{HIC}+\widehat{KIB}+\widehat{EIF}=\widehat{BIC}=180^o$

$\to \widehat{EMF}+\widehat{EIF}=180^o$
$\to\Diamond MEIF$ nội tiếp

$\to \widehat{MFE}=\widehat{MIE}=\widehat{MIK}=\widehat{MBK}=\widehat{MCB}$
$\to EF//BC$

$\to EF\perp MI(MI\perp BC)$