Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Tự vẽ hình

a) Ta có:

+ M là trung điểm của OD (gt)

=> MD = MO = OD/2

+ N là trung điểm của OB (gt)

=> ON = NB = OB/2

Mà OB = OD ( do hình bình hành ABCD )

Nên MD = MO = ON = NB

=> MO = ON (1)

Ta lại có:

AO = OC ( do hình bình hành ABCD ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tứ giác AMCN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành (Đpcm)

b) Vì AMCN là hình bình hành ( câu a )

Nên NC // AM

=> FC // AE

Mà AF // EC ( vì AB // CD, F thuộc AB và E thuộc CD )

=> AFCE là hình bình hành

Mà O là trung điểm của AC

=> O là trung điểm của EF

Vậy E đối xứng với F qua O (Đpcm)

c) Xét tam giác DNC, ta có:

NC // ME

=> DEEC=DMMN=12DEEC=DMMN=12

⇒DE=12EC(Đpcm)⇒DE=12EC(Đpcm)

d) Để hình bình hành AMCN là hình chữ nhật thì MN = AC

Mà MN = BD/2 nên AC = BD/2

Vậy hình bình hành ABCD cần điều kiện AC = BD/2 thì AMCN là hình chữ nhật

e) Vì O là trung điểm của AC

Nên AC đi qua O (1)

Vì O là trung điểm của BD

Nên BD đi qua O (2)

Vì O là trung điểm của EF

Nên EF đi qua O (3)

Từ (1), (2),(3) suy ra: AC,BD,EF đồng quy tại O