a) Do $I$ là trung điểm của $AC$ và

$K$ đối xứng với $M$ qua $I\Rightarrow I$ là trung điểm của $MK$

Tứ giác $AMCK$ có 2 đường chéo $AC$ va $MK$ cắt nhau tại trung điểm $I$ mỗi đường

$\Rightarrow AMCK$ là hình bình hành

Lại có $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $AM$ là trung tuyến nên cũng là đường cao

$\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \widehat{AMC}=90^o$

Tứ giác $AMCK$ là hình bình hành có $\widehat{AMC}=90^o$

$\Rightarrow AMCK$ là hình chữ nhật.

b) Tứ giác $AMCK$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AC=MK$

Mà $AC=AB$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$)

$\Rightarrow MK=AB$ (đpcm).

c) Để hình chữ nhật $AMCK$ là hình vuông

thì $AM=MC$ mà $BM=MC$

$\Rightarrow AM=BM=MC=\dfrac{1}{2}BC$

Khi đó $\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $A$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$ thì $AMCK$ là hình vuông.