Giải thích các bước giải:

a.Ta có $IM\perp AB, IN\perp AC, AB\perp AC$

$\to AMIN$ là hình chữ nhật

b.Ta có $I, D$ đối xứng qua $AC\to AC$ là trung trực $DI$

$\to AI=AD, CI=CD$

Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $BC$

$\to IA=IB=IC=\dfrac12BC$

$\to DA=AI=IC=CD$

$\to ADCI$ là hình thoi

c.Tương tự câu b chứng minh được $AIBH$ là hình thoi

$\to AH=AI, AH//BI\to AH//BC$

Ta có $ADCI$ là hình thoi $\to AD=AI, AD//CI\to AD//CB$

$\to AH=AD(=AI)$

Ta có $AH//CB, AD//BC$

$\to H, A, D$ thẳng hàng

$\to A$ là trung điểm $HD$

$\to H$ đối xứng với $D$ qua $A$

d.Ta có $AICD$ là hình thoi

$\to AC\perp DI$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $IN\perp AC\to DI\perp AC=N$

$\to N$ là trung điểm $AC, DI$

Ta có $I, N$ là trung điểm $CB, AC$

Gọi $AI\cap BN=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to AI=3GI$

Ta có $AICD$ là hình thoi $\to AI//CD, N$ là trung điểm DI\to ND=NI$

Xét $\Delta NGI,\Delta NDK$ có:

$\widehat{GNI}=\widehat{DNK}$

$ND=NI$

$\widehat{NIG}=\widehat{NDK}$ vì $AI//CD$

$\to\Delta NGI=\Delta NKD(g.c.g)$

$\to GI=DK$

Mà $CD=AI, AI=3GI$

$\to CD=3DK$