Bài 1:

a) $x^2+mx+m-1=0$

$\Delta=m^2-4.(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge0$ $\forall m$

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$

b) Theo hệ thứ Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=-m\\x_1.x_2=m-1\end{cases}$

$x_1^2+x_2^2-4(x_1+x_2)=5$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-4(x_1+x_2)=5$

$\Leftrightarrow (-m)^2-2(m-1)-4(-m)=5$

$\Leftrightarrow m^2+2m-3=0$

$\Delta'=1+3=4>0$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$m=-1+\sqrt4=1$ hoặc $m=-1-\sqrt4=-3$

Vậy $m=\{1;-3\}$.

Bài 2:

a) $x^2+mx+m-1=0$

$\Delta=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\ge0$ $\forall m$

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$, để phương trình luôn có 2 nghiêm phân biệt thì $m\ne 2$

b) Theo hệ thức Vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=-m\\x_1.x_2=m-1\end{cases}$

Cộng vế với vế hai phương trình:

$\Rightarrow x_1x_2+x_1+x_2=-1$

Vậy biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào tham số $m$ là $x_1x_2+x_1+x_2=-1$.

Bài 3:

a) $x^2-2(m+1)x+m-2=0$

Với $m=-2$ phương trình tương đương

$x^2+2x-4=0$

Xét $\Delta'=1+4=5>0$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

$x=-1\pm\sqrt5$

b) Xét $\Delta'=(m+1)^2-(m-2)=m^2+m+3$

$=m^2+2.m.\dfrac12+\dfrac14-\dfrac14+3$

$=(m+\dfrac12)^2+\dfrac{11}4$

Do $(m+\dfrac12)^2\ge0$ $\forall m$

$\Rightarrow(m+\dfrac12)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}4>0$ $\forall m$

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi $m$

c) Theo vi-et ta có:

$\begin{cases}x_1+x^2=2(m+1)\\x_1.x_2=m-2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\2x_2x_2=2m-4\end{cases}$

Trừ vế với vế hai phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được biểu thức liên hệ của hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$:

$x_1+x_2-2x_1x_2=6$.