Đáp án:

a. $MN=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$

    $SO=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$
b. $\sin \varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ 

Giải thích các bước giải:

Trên AO, lấy điểm H sao cho AH = HO ( H thuộc AC )

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K là giao điểm BD và HN

Gọi I là trung điểm của OB

a. 

Xét $\Delta HCN$ có: $HN^2=CH^2+CN^2-2\cdot CH\cdot CN\cdot \cos 45^{\circ}$

                                                      $=\bigg(\dfrac{3a\sqrt 2}{4}\bigg)^2+\bigg(\dfrac a2\bigg)^2-2\cdot \dfrac{3a\sqrt 2}{4}\cdot \dfrac a2\cdot\dfrac{\sqrt 2}{2}=\dfrac{5a^2}8$

Ta có: HN là hình chiếu của MN lên mặt phẳng (ABCD) do MH// SO; SO $\perp$ (ABCD). Do đó, $\widehat{(MN,(ABCD))}=\widehat{HNM}=60^{\circ}$

Xét $\Delta MHN,$ có: $\cos 60^{\circ}=\cos\widehat{HNM}=\dfrac{HN}{MN}=\dfrac 12$

$\to MN=2\cdot NH=\dfrac{a\sqrt{10}}2; \dfrac{HM}{HN}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$

$\to MH=\dfrac{a\sqrt{15}}{2\sqrt 2}$

mà $MH=\dfrac 12\cdot OS$

$\to SO=2\cdot MH=\dfrac{a\sqrt{30}}2$

Vậy$MN=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$

    $SO=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$

b. Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (MHN) và (SBD) là đường thẳng đi qua K và // SO, cắt MN = E

Dễ thấy: AC ⊥ (SBD); NI // AC $\to$ NI ⊥ ( SBD)

$\to \widehat{(MN,(SBD))}=\widehat{IEN}$

Xét $\Diamond OHIN$ là hình bình hành có K là giao điểm của IO và NH ( hai đường chéo của hình bình hành)

$\to K$ là trung điểm của NH

$\to E$ là trung điểm của MN

Dễ thấy: $IE\perp NI$ ( do NI ⊥ ( SBD) )

Xét $\Delta NIE$ vuông tại I

$\to \sin\widehat{NEI}=\dfrac{NI}{NE}=\dfrac{2NI}{2NE}=\dfrac{2NI}{MN}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt 2}2}{\dfrac{a\sqrt{10}}2}=\dfrac 1{\sqrt 5}$

Vậy góc giữa MN và (SBD) là $\varphi$ với $\sin \varphi=\dfrac 1{\sqrt 5}$