Đáp án:

a) Xét pt hoành độ giao điểm ta có:

$\begin{array}{l}
\frac{1}{4}{x^2} = mx + 1\\
 \Rightarrow {x^2} - 4mx - 4 = 0\\
 \Rightarrow \Delta ' = {\left( { - 2m} \right)^2} - \left( { - 4} \right) = 4{m^2} + 4 > 0\forall m
\end{array}$

=> Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

=> Mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hải điểm phân biệt.

b) Theo Viet ta có:${x_A} + {x_B} = \frac{{ - b}}{a} = 4m$ và ${x_A}.{x_B} = 4$

A,B thuộc d nên đường cao hạ từ O bằng khoảng cách từ O đến d: $ \Rightarrow h = \frac{{\left| {m{x_o} - {y_o} + 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}$

$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {m{x_A} + 1 - m{x_B} - 1} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{m^2} + 1} .\sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{m^2} + 1} .\sqrt {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \\
 = \sqrt {{m^2} + 1} .\sqrt {16{m^2} - 4.\left( { - 4} \right)} \\
 = 4\left( {{m^2} + 1} \right)\\
 \Rightarrow {S_{AOB}} = \frac{1}{2}.h.AB\\
 = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}.4\left( {{m^2} + 1} \right)\\
 = 2\sqrt {{m^2} + 1} 
\end{array}$