Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Gọi I là giao điểm của BC và AC

Do B và D đối xứng nhau qua AC nên ta có BD vuông góc với AC và BI = ID

Tam giác BCD có CI vừa là đường cao cao vừa là đường trung tuyến lên tam giác BCD cân tại C -->BC = CD (1)

Tam giác ABD có AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A -->AB = AD (2)

Tam giác ABC cân tại B nên BC = BA (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra BC = CD = AD

Suy ra ABCD là hình thoi 

Mà BD vuông tại góc AC nên ABCD là hình vuông (do hình thoi có hai đường chéo vuông góc sẽ là hình vuông)

b) Vì FM và AB cùng vuông góc với BC nên AB||FM

Do đó góc FMC = góc BAC

Mà góc BAC = góc FCM (do tam giác ABC cân tại B) 

Suy ra góc FCM = góc FMC

Suy ra tam giác FCM cân tại F

Do đó FM = góc FC (4)

Tứ giác BEMF có BFM = FBE = MEB = 90 độ

Suy ra BEMF là hình chữ nhật 

Do đó FM = BE (5)

Từ (4),(5) suy ra FC = BE

Tam giác AFC và tam giác DEB có AC = BD (do ABCD là hình vuông) 

Góc DBE = góc FCA (= 45 độ) 

CF = BE

Do đó tam giác AFC = tam giác DEB (c. c. c) 

Suy ra góc IDM = góc KMA (gọi K là giao điểm của DE và AF) 

Ya có góc IMD = KMA (đối đỉnh) 

Mà IMD + IDM =90 độ (do tam giác IDM vuông tại I) 

Nên ta được KMA + KAM = 90 --> góc MKA = 90 độ --> AF vuông góc với DE

c) Hai tam giác vuông ADE và BAF có :

ED = AF (do hai tam giác AFC và DEB bằng nhau) 

AD = BA

Do đó tam giác ADE = tam giác BAF (cạnh huyền - cạnh góc vuông)