- Ta có: tứ giác ABCD nội tiếp (O)

mà tứ giác ABCD là hình thang (gt)

=> ABCD là hình thang cân

=> AD = BC ( 2 cạnh bên) hay ∠ADC = ∠BCD ( 2 góc ở đáy)

=> MA = MB

- Vì AD = BC (cmt)

=> cung AD = cung BC

∠ANC = 1/2 ( sđ cung ADC - sđ cung ABC)

           = 1/2 ( sđ cung AD + sđ cung DC - sđ cung AB - sđ cung BC)

            = 1/2 ( sđ cung DC - sđ cung AB)

            = ∠AMC

=> tứ giác AMNC nội tiếp

mà tứ giác ANCO nội tiếp

=> 5 điểm A,M,N,C,O cùng thuộc 1 đường tròn 

=> ∠OMN = ∠OAN ( cùng chắn cung ON )

mà ∠OAN = 90 độ

=> ∠OMN = 90 độ

=> OM ⊥MN (đpcm)

- Vì CA=CD (gt)

=> ΔCAD cân tại C

=> ∠CAD = ∠CDA

mà ∠CDA = ∠ACN ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC )

=>∠CAD = ∠ACN

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AD//CN

=> MD//NC

=> ∠AMB = ∠NCM ( 2 góc so le trong)

- Vì MA = MB (cmt)

mà OA = OB (=R)

=> OM là đường trung trực của AB

=> OM ⊥ AB

mà OM ⊥ MN (cmt)

=> AB//MN

=> ∠ABM = ∠NMC ( 2 góc so le trong )

- Xét ΔAMB và ΔNCM có :

          ∠AMB = ∠NCM (cmt)

          ∠ABM = ∠NMC (cmt)

=> ΔAMB đồng dạng ΔNCM (g.g)

=> AM/CN = AB/MN

=> AM.MN = CB.CN 

=> đpcm

CHÚC BẠN HỌC TỐT ^^

@Bee

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\Diamond ABCD$ nội tiếp (O)

$\to \widehat{DAB}+\widehat{BCD}=180^o$

Mà $AB//CD\to \widehat{DAB}+\widehat{ADC}=180^o\to \widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

$\to ABCD$ là hình thang cân

$\to \widehat{MDC}=\widehat{MCD}\to\Delta MDC$ cân tại M

$\to M\in$ trung trực của DC

Mà $OD=OC\to O\in$ trung trực của DC$\to OM$ là trung trực của DC

$\to OM\perp DC\to\widehat{DMO}=90^o-\widehat{MDC}$

Vì NA,NC là tiếp tuyến của (O)
$\to NA\perp OA,NC\perp OC\to NO$ là phân giác $\widehat{ANC}$

$\to \widehat{ANO}=\dfrac12\widehat{ANC}=\dfrac12(180^o-\widehat{AOC})=90^o-\dfrac12\widehat{AOC}=90^o-\widehat{ADC}=\widehat{DMO}$

$\to AMNO$ nội tiếp

$\to \widehat{OMN}=\widehat{OAN}=90^o$

$\to OM\perp MN$

Vì $ABCD$ là hình thang cân $\to AD=BC$

Mà $MD=MC(cmt)\to MA=MB$

Do $OM\perp MN\to MN//CD(OM\perp DC)\to MN//AB(AB//CD)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{MCN}$

Vì $CA=CD\to \widehat{CAD}=\widehat{CDA}$

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=\widehat{MCD}=\widehat{MCD}(AB//CD)$

$\to \Delta MAB\sim\Delta CAD(g.g)$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ vì $ABCD$ là hình thang cân

$\to \widehat{MCN}=\widehat{BDC}=\widehat{AMB}$ vì $CN$ là tiếp tuyến của (O)
$\to\Delta CMN\sim\Delta MBA(g.g)$

$\to\dfrac{CN}{AM}=\dfrac{MN}{AB}\to CN.AB=MN.AM$