Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) ∆BAC nội tiếp đường tròn (O) => BAC vuông tại A

Xét hai ∆ vuông BAC và EAC có:

AC là cạnh chung

AB = AE (E đối xứng với B qua A)

=> ∆BAC = ∆EAC (2 cạnh góc vuông)

=> Góc ABC = Góc AEC => ∆BEC cân tại C

b) Xét ∆ACB và ∆ACE có:

Góc CAB = Góc CAE = 90 độ

Góc CEA = Góc CBA (∆BEC cân tại C)

=> ∆ACB ᔕ ∆ACE => Góc ACE = Góc ACB (2 góc tương ứng)

Ta có:

Góc ACE = Góc ABC (cùng chắn cung AD) 
Góc ACE = Góc ACB (chứng minh trên)

=> Góc ABD = Góc ACB

Ta có:

Góc ACB = Góc ABD (chứng minh trên)

Góc ACB = Góc ABx (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

=> Góc ABD = Góc ABx

=> AB là tia phân giác của góc DBx

c) Xét hai Δ vuông KAB và IAB có:

AB là cạnh chung

Góc ABD = Góc ABx (chứng minh trên)

=> ΔKAB = ΔIAB (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=> AK = AI (2 cạnh tương ứng) => A là trung điểm của IK

Xét tứ giác BKEI:

A là trung điểm của BE (E đối xứng với B qua A)

A là trung điểm của IK (chứng minh trên)

=> Tứ giác BKEI là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

ΔKAB = ΔIAB => BK = BI (2 cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành BKEI có:

BK = BI (chứng minh trên)

=> BKEI là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)