a) Do AM là phân giác, mà tam giác ABC cân nên AM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến của tam giác ABC.

Vậy M là trung điểm BC và $BM = CM = \dfrac{1}{2} BC = 3$ (cm).

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AMC ta có

$AM^2 = AC^2 - MC^2 = 5^2 - 3^2$

Vậy $AM = 4$ (cm)

Do đó

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AM . BC = \dfrac{1}{2} . 4.6 = 12$ ($cm^2$)

b) Do M và O là trung điểm BC, AC nên MO là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MO//AB. Suy ra tứ giác ABMO là hình thang.

c) Xét tam giác vuông AMC có MO là đường trung tuyến nên $MO = OA = OC = \dfrac{1}{2} AC$.

Lại có K đối xứng vs M qua O nên OM = OK.

Xét tứ giác ACMK có $OA = OM = OC = OK$. Vậy O là tâm đối xứng của AMCK.

Vậy tứ giác AMCK là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AMC} = 90^{\circ}$.

Vậy tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Để tứ giác AMCK là hình vuông thì $AM = MC = \dfrac{1}{2} BC$.

Vậy tam giác ABC có đường trung tuyến ứng với cạnh BC bằng một nửa cạnh BC.

Do đó tam giác ABC vuông.

Vậy để tứ giác AMCK là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện vuông tại A.