Giải thích các bước giải:

1. a. BD//CE,BE//CD -> BDCE là hình bình hành

-> CE=BD mà BD=AC

-> CE=AC -> tam giác ACE cân tại C

mà góc EAC = 45 -> tam giác ACE vuông cân tại C (đpcm)

b.Gọi G là giao của OF và AB

-> G là trung điểm của OF

 OG//BC, O là trung điểm AC -> G là trung điểm AB

-> G là trung điểm AB,OF mà AB vuông góc OF
-> AOBF là hình thoi

mà góc AOB=90

-> AOBF là hình vuông

c.  APCQ là hình thoi

-> PQ ⊥AC tại O mà BC ⊥AC tại O

-> P,B,D,Q thẳng hàng

2. Giả sử E là giao của AC và BD

-> E là trung điểm AC và BD

-> AE=3cm, ED=4cm -> AD=5cm

xét ΔADC có 

\(\begin{array}{l}
\cos  = \frac{{A{D^2} + C{D^2} - A{C^2}}}{{2.AD.CD}} = \frac{7}{{25}}\\
\sin  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{7}{{25}}} \right)}^2}}  = \frac{{24}}{{25}} = \frac{{AP}}{{AD}} \to AP = \frac{{24}}{5}cm
\end{array}\)