Đáp án:

a. O là trọng tâm tam giác ABC

$\to OF=\dfrac 13\cdot BF$

$\to IF=FO=\dfrac 13\cdot BF$

$\to IF+FO=\dfrac 23\cdot BF$

mà $OB=\dfrac 23\cdot BF; OI=\dfrac 23BF$

$\to OI=OB=\dfrac 23\cdot BF$

CMTT, ta được: $OC=OK=\dfrac 23\cdot CE$

mà $CE=BF\to OB=OK=OI=OC$

$\to \Diamond BKIC$ là hình chữ nhật

b. Xét $\Delta AKC$ có O là trung điểm KC, F là trung điểm AC

$\to OF$ là đường trung bình của tam giác

$\to OF=FI=\dfrac{AK}2$
$\to OF+FI=\dfrac{AK}{2}\cdot 2=AK$

$\to OI=AK$

Tương tự: $AI=OK$

mà $OI=OK\to AK=OK=OI=AI\to\Diamond AIOK$ là hình thoi

c. Gọi L là trung điểm của NC
Xét tam giác MNC có L là trung điểm của NC & D là trung điểm của MN

$\to DL$ là đường trung bình của $\Delta MNC$
$\to MC//DL$

$\to OM\perp DL( MC\perp OM)$

$\to D$ là trực tâm $\Delta OML$

$\to OD\perp ML$

$\to OD\perp BN ( ML//BN)$