Kéo dài AB thành tia Bx, kéo dài AC thành tia By. 

Khi đó, do KB, KC là phân giác của $\widehat{BCy}$ và $\widehat{CBx}$ nên ta có

$\widehat{KCB}= \dfrac{1}{2} \widehat{BCy}$ và $\widehat{KBC} = \dfrac{1}{2} \widehat{CBy}$

Xét tam giác KBC có

$\widehat{BKC} = 180^{\circ} - \widehat{KCB} - \widehat{KBC}$

$= 180^{\circ} - \dfrac{1}{2} \widehat{BCy} - \dfrac{1}{2} \widehat{CBy}$

$= 180^{\circ} - \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - \widehat{BCA}) - \dfrac{1}{2} (180^{\circ} - \widehat{CBA})$

$= 180^{\circ} - 90^{\circ} + \dfrac{1}{2} \widehat{BCA} - 90^{\circ} + \widehat{CBA}$

$= \dfrac{\widehat{BCA} + \widehat{CBA}}{2}$

Lại có $\widehat{BCA}$ và $\widehat{CBA}$ phụ nhau nên tổng của chúng bằng $90^{\circ}$. Do đó

$\widehat{BKC} = \dfrac{\widehat{BCA} + \widehat{CBA}}{2} = \dfrac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.