$0<x<10, x\in\mathbb{Z}$

$\to S=\{ 1;2;3;6;7;8;9\}$

$\to 7$ phần tử

Đáp án:

\[7\]

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ:  \({x^2} - 3x - 10 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 5\\
x \ne  - 2
\end{array} \right.\)

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le  - 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( { - 2{x^2} + 7x + 7} \right) + \left( {{x^2} - 3x - 10} \right)}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x - 10}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x + 3 \ge 0\\
{x^2} - 3x - 10 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x + 3 \le 0\\
{x^2} - 3x - 10 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\\
\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0\\
\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \le 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x > 5\\
x <  - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
1 \le x \le 3\\
 - 2 < x < 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 5\\
x <  - 2\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {1;3} \right] \cup \left( {5; + \infty } \right)
\end{array}\)

Do đó, các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10 của bất phương trình đã cho là:  \(S = \left\{ {1;2;3;6;7;8;9} \right\}\)

Vậy có \(7\) nghiệm thỏa mãn.