Đáp án:

 a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên  $\widehat{ABC}$=$90^{o}$

Vì HD⊥AB nên $\widehat{ADH}$=$90^{o}$

Vì HE⊥AC nên $\widehat{AEH}$=$90^{o}$

Xét tứ giác ADHE có $\widehat{ABC}$=$\widehat{ADH}$=$\widehat{AEH}$=$90^{o}$

⇒ tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng nên $\frac{AB}{CB}$ =$\frac{AH}{CA}$

⇒ AB.AC=AH.BC  (đpcm)

b)  Vì ADHE là hình chữ nhật nên AE=DH và AE//DH hay PE//DH

Vì P là điểm đối xứng của A qua E nên PE=AE=DH

Xét tứ giác ADHE có PE//DH, PE=DH

⇒ DHPE là hình thoi

c) Vì AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM=MC hay tam giác AMC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}$=$\widehat{MCA}$

Ta có: $\widehat{AHE}$=$\widehat{BAH}$ (so le trong)

Vì HE//AD, HP//DE

⇒$\widehat{EHP}$=$\widehat{ADE}$

Mặt khác tứ giác DHPE là hình chữ nhật nên AV=VD

⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{BAH}$

⇒$\widehat{EHP}$=$\widehat{BAH}$

$\widehat{BAH}$=$\widehat{ACM}$ (vì cùng phụ với $\widehat{HAC}$)

$\widehat{ACM}$=$\widehat{MAC}$ nên $\widehat{BAH}$=$\widehat{MAC}$

⇒$\widehat{AHP}$+$\widehat{HAM}$=$\widehat{EHP}$+$\widehat{AHE}$+$\widehat{HAM}$

=$\widehat{BAH}$+$\widehat{BAH}$+$\widehat{HAM}$=$\widehat{MAC}$+$\widehat{HAM}$+$\widehat{BAH}$=$90^{o}$

⇒ $\widehat{AJH}$=$90^{o}$ hay AM⊥HP

Mà HP//DE nên DE⊥AM

Vì DE⊥AM, MG⊥AG, AH⊥BM

⇒ V là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác 

⇒ AG, DE và BC đồng quy tại I (đpcm)