Ta có SAID = 1/2 S ACD( vì hai tam giác chung đáy AD và AI=1/2AC)

SACD=1/3 SABC ( vì hai tam giác chung chiều cao hạ từ C và AD=1/3AB)

⇒SAID=1/2x1/3=1/6 SABC = 180x1/6=30 ( cm²) 

SEFB = 1/3 SAFB( vì hai tam giác chung đáy BF và BE=1/3AB)

SAFB = 1/3 SABC ( vì hai tam giác chung chiều cao từ A và BF=1/3 BC)

⇒SEFB=1/3x1/3=1/9 SABC = 180 x 1/9 =20 (cm²)

SICF=2/3 SICB ( vì hai tam giác chung chiều cao hạ từ I và CF=2/3BC)

SICB=1/2 SABC ( vì hai tam giác chung chiều cao hạ từ B  và IC = 1/2 AC )

⇒SICF=2/3x1/2=2/6 SABC= 180x2/6=60 cm²

Vậy diện tích tứ giác là :

180-30-20-60=70(cm²)

Đ/S 70 cm²

$\text{$\dfrac{ADI}{ABC}$ = $\dfrac{AD}{AB}$ × $\dfrac{AI}{AC}$ = $\dfrac{1}{3}$ × $\dfrac{1}{2}$ = $\dfrac{1}{6}$}$

$\text{Diện tích ADI là:}$

$\text{180 : 6 = 30 ( cm² )}$

$\text{$\dfrac{BEF}{ABC}$ = $\dfrac{BF}{BC}$ × $\dfrac{BE}{BA}$ = $\dfrac{1}{3}$ × $\dfrac{1}{3}$ = $\dfrac{1}{9}$}$

$\text{Diện tích BEF là:}$

$\text{180 : 9 = 20 ( cm² )}$

$\text{$\dfrac{IFC}{ABC}$ = $\dfrac{IC}{IA}$ × $\dfrac{CF}{CB}$ = $\dfrac{1}{2}$ × $\dfrac{2}{3}$ = $\dfrac{1}{3}$}$

$\text{Diện tích IFC là:}$

$\text{180 : 3 = 60 ( cm² )}$

$\text{Diện tích tứ giác DEFI là:}$

$\text{180 - 30 - 20 - 60 = 70 ( cm² )}$
$\text{Đáp số: 70 cm²}$