Trong tam giác $SOD$ có `(SM)/(SO)=(SN)/(SD)=m/n` nên theo định lý Thales đảo ta được $MN//OD$

Trong mặt phẳng $(SBD)$: $MN$ cắt $SB$ tại $P$

Mặt phẳng $(MNE)$ và $(ABCD)$ có điểm chung thứ nhất là $E$. Lại có $MN//BD$ nên giao tuyến của $(MNE)\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $E$ và song song với $BD$ cắt $CD$ và $AD$ lần lượt tại $H$ và $F$

$FN$ cắt $SA$ tại $G$. 

$\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EH\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SBC} \right) = EP\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NH\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SAD} \right) = GN\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SAB} \right) = PG \end{array} \right.$

Thiết diện là ngũ giác $NGPEH$.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SAD$ với $\overline{F,N,G}$

$\begin{array}{l}
\dfrac{{FD}}{{FA}}.\dfrac{{GA}}{{GS}}.\dfrac{{NS}}{{ND}} = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{FD}}{{FA}}.1.\dfrac{{NS}}{{ND}} = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{NS}}{{ND}} = \dfrac{{FA}}{{FD}}\\
\dfrac{{FD}}{{EC}} = \dfrac{{DH}}{{HC}} = \dfrac{{BE}}{{EC}} = 1\\
 \Rightarrow FD = EC = \dfrac{1}{2}AD\\
 \Rightarrow \dfrac{{FD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{FD}}{{FA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FD}} = 3\\
 \Rightarrow \dfrac{{NS}}{{ND}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SN + ND}} = \dfrac{3}{{3 + 1}} = \dfrac{3}{4}\\
 \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow m = 3,n = 4 \Rightarrow m + n = 7
\end{array}$