a) Ta có $AB$ là đường kính của đường tròn $(O)$

$BC$ là dây cung không đi qua tâm của đường tròn $(O)$

$\Rightarrow BC < AB$.

 

b) $C$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(O)$

Ta có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^o \Rightarrow  AC \bot  BC$. (đpcm)

 

c) Ta có $M$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow OM \bot  AC$ (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Mà $OA = OC = R$

$\Rightarrow \Delta  OAC $ cân tại $ O$.

Tam giác $OAC$ cân tại $O$ có đường cao đồng thời là đường trung tuyến $OM$

$\Rightarrow  OM$ là đường phân giác của $ \widehat {AOC}$.

$\Rightarrow \widehat{ AOM }= \widehat{ COM}$.

Xét $\Delta APO $ và $\Delta  CPO$ ta có:

$PO$ chung

$\widehat{ AOM} = \widehat{ COM}$ (cmt)

$OA = OC$ (=R)

$\Rightarrow  \Delta APO = \Delta CPO$ (g-c-g)

$\Rightarrow \widehat {PAO} = \widehat{ PCO }$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow  \widehat{PAO} = 90^o$

Hay $PA \bot AO$ hay $PA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

 

d) Ta có: $\widehat{QCB}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $BC$

$\widehat {CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$

$\widehat{ QCB} = \widehat{ CAB}$.

Mà $\widehat{HCB} = \widehat{ CAB}$ (cùng phụ với $\widehat{ CBA}$)

$\Rightarrow  \widehat{ BCQ} = \widehat{ BCH} (= \widehat{ CAB}) $

$\Rightarrow\Delta  HBC = \Delta QBC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow  CH = CQ $ (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ có:

$BC^2=AB^2-AC^2=5^2-4^2=9$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Delta ABC$ ta có:

\(\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{25}{144}\)

$\Rightarrow CH=2,4=CQ$