Đáp án:
Câu đầu tiên. Ta có $3x^{5}+2x^{3}-6x^{2}+1=(x-1).(3x^{4}+3x^{3}+5x^{2}-x-1)$ 
Xét hàm $f(x)=3x^{4}+3x^{3}+5x^{2}-x-1$
Ta có $f(x)$ liên tục trên $R$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} f(x) =+\infty$ nên tồn tại hai số thực a<0 và b>0 sao cho f(a)>0 và f(b)>0

 Lại có $f(0)=-1<0 ⇒ f(a).f(0)<0 và f(b).f(0)<0$
Tức hàm $f(x)$ trên có ít nhất 2 nghiệm và rõ ràng là f(1)$\neq$ 0 nên từ đó suy ra phương trình ban đầu có ít nhất 3 nghiệm phân biệt 

Giải thích các bước giải: 
Đầu tiên là nhìn vào hệ số. Có 1 quy tắc về hệ số cần nhớ để gặp thì triển là "Tổng hệ số bằng 0 => có nghiệm 1" "Hệ số ở mũ chẵn - Hệ số ở mũ lẻ bằng 0=> có nghiệm -1". Áp dụng vào thì ta có nghiệm bằng 1 từ đó tách nhân tử được $3x^{5}+2x^{3}-6x^{2}+1=(x-1).(3x^{4}+3x^{3}+5x^{2}-x-1)$ .
Việc còn lại là chứng minh biểu thức còn lại có ít nhất 2 nghiệm và 2 nghiệm đó khác 1.
Câu thứ 2: 

 a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD). 
Vì SA=SB=SC=SD và SH⊥(ABCD) nên ta có ΔSAH=ΔSBH=ΔSCH=ΔSDH (TH cạnh huyền- cạnh góc vuông) ⇒ HA=HB=HC=HD⇒O≡H (Vì ABCD là hình vuông có O là tâm)
Suy ra SO⊥(ABCD).
b. Ta có SO⊥(ABCD) nên hình chiếu của SC lên (ABCD) là OC ⇒ góc giữa SC với (ABCD) là góc giữa SC và OC
Xét tam giác SCO vuông tại O có SC=a$\sqrt{2}$ và OC=a.$\frac{1}{\sqrt{2} }$, ta 
cos(∠SCO)=$\frac{OC}{SC}$ =$\frac{1}{2}$ 
⇒ ∠SCO=$60^{0}$ 
⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là $60^{0}$ 
c. Ta có
$\left \{ {{AC⊥BD} \atop {AC⊥SO}} \right.$ ⇒ AC⊥(SBD) ⇒AC⊥SD
d. Ta có (P)⊥AC và (SBD)⊥AC => (P) //(SBD)
Khi đó trong (SCD) gọi P là trung điểm BC. 
Ta có 
$\left \{ {{MN//SD} \atop {NP//SB}} \right.$ ⇒ (MNP)//(SBD) 
Mà N∈(P) và N∈(MNP) nên suy ra (MNP)≡(P) 
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tam giác MNP
e. Gọi Q là trung điểm AD → MQ//AC và MQ= $\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}$a
Khi đó góc giữa AC và SM bằng góc giữa QM và SM 
Xét tam giác SDC cân tại S có SD=SC=a.$\sqrt{2}$ DC=a và M là trung điểm DC nên 
SM=$\sqrt{SC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{2a^2-\frac{1}{2}a^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.a$ 
Ta có SM=SQ=$\frac{\sqrt{6}}{2}.a$ (do ΔSDC=ΔSAC)
Xét tam giác SMQ có 
cos(∠SMQ) =$\frac{SM^2+MQ^2-SQ^2}{2.SM.SQ}= \frac{\sqrt{3}}{6}$ 
→ Góc giữa SM và MQ bằng arccos ($\frac{\sqrt{3}}{6}$)
Suy ra góc giữa SM và AC bằng arccos ($\frac{\sqrt{3}}{6}$)