Giải thích các bước giải:

a.Vì D,E,F là điểm chính giữa cung AB,BC,CA

$\begin{split}\to \widehat{BGE}&=\widehat{GBA}+\widehat{GAB}\\&=\widehat{ABF}+\widehat{BAE}\\&=\widehat{FBC}+\widehat{CBE}\\&=\widehat{FBE}\\&=\widehat{GBE}\end{split}$ 

$\to\Delta BEG$ cân tại E

b.Vì $D$ là điểm chính giữa cung AB$\to ED$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to\dfrac{HA}{HB}=\dfrac{EA}{EB}\to HA.EB=HB.EA$

c.Ta có $D,F,E$ là điểm chính giữa cung AB,BC,AC

$\to CD,BF,AE$ là phân giác của tam giác

$\to G$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC, BF,DC,AE$ đồng quy 

Lại có $\widehat{BAE}=\widehat{EDC}$ vì E nằm giữa cung BC

$\to \widehat{HDG}=\widehat{HAG}\to \Diamond ADHG$ nội tiếp

$\to \widehat{AHG}=\widehat{ADG}=\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$

$\to HG//BC$

d.Ta có : $HG//BC\to\dfrac{HA}{HB}=\dfrac{GA}{GI}$

Go F nằm chính giữa cung AC$\to BF$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to BG$ là phân giác $\widehat{ABI}\to\dfrac{GA}{GI}=\dfrac{BA}{BI}$

Lại có $\dfrac{HA}{HB}=\dfrac{EA}{EB}$ câu b

$\to\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AB}{BI}$