c, Xét ΔBMI vuông tại I và ΔBCD vuông tại D có góc B chung

⇒ ΔBMI đồng dạng với Δ BCD (g-g)

⇒ $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BI}{BD}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔ BM.BD=BI.BC (1)

Xét ΔCMI vuông tại I và ΔCBA vuông tại A có góc C chung

⇒ ΔCMI đồng dạng với ΔCBA (g-g)

⇒ $\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{CI}{CA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔ CM.CA=CI.BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BM.BD+CM.CA= BI.BC+CI.BC =(BI+CI).BC=BC.BC=BC²

Vì ΔABC cho trước ⇒ BC không đổi

⇔ Tổng BM.BD+CM.CA = BC² không đổi

d, Xét $\Delta HBD$ có:

$P$ là trung điểm cảu PH, Q là trung điểm của DH

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của $\Delta HBD$

$\Rightarrow PQ//BD$ mà $BD\bot CD$ (giả thiết)

$\Rightarrow PQ\bot DC$

$\Delta CDP$ có hai đường cao $PQ, DH$ giao nhau tại Q

$\Rightarrow Q$ là trực tâm của $\Delta CDP$

$\Rightarrow CQ\bot DP$ (đpcm).