Đáp án:

a) Xét ΔBAH và ΔBCH có:

+ BH chung

+ góc BHA= góc BHC = 90 độ

+ BA = BC

=> ΔBAH = ΔBCH (c-g-c)

=> AH = CH

b) Do ΔBHA = ΔBHC nên góc HBA = góc HBC

Xét ΔBDH và ΔBEH có:

+ góc BDH = góc BEH = 90 độ

+ BH chung

+ góc DBH = góc EBH 

=> ΔBDH = ΔBEH (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BD = BE
=> ΔBDE cân tại B

c) Do ΔBDE và ΔBAC đều cân tại đỉnh B

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {BDE} = \widehat {BAC} = \frac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}\\
 \Rightarrow DE//AC
\end{array}$

d) Do DH = EH, HA = HC

Theo Pytago ta có:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B{E^2} + D{H^2} = B{E^2} + E{H^2} = B{H^2}\\
B{C^2} - H{A^2} = B{C^2} - H{C^2} = B{H^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow B{E^2} + D{H^2} = B{C^2} - H{A^2}
\end{array}$

e)

Ta chứng minh được B,M,N thẳng hàng do BM,BN đều là đường phân giác của góc B

Mà góc B tù

=> B nằm giữa M và N

=> MN = BM + BN.