`a)` Áp dụng định lý Py-ta-go vào `ΔABC` vuông tại A:

`AB^2+AC^2=BC^2`

`=>BC^2=20^2+21^2`

`=>BC^2=841`

`=>BC=29(cm)`

`b)`Áp dụng tính chất đường phân giác:Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

`(BD)/(DC)=(AB)/(AC)`

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

`=>(BD)/(AB)=(DC)/(AC)`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

`=>(BD)/(AB)=(DC)/(AC)=(BD+DC)/(AB+AC)=29/(20+21)=29/41`

Do đó:

`BD=29.20:41=580/41(cm)`

`DC=29.21:41=609/41(cm)`

c)Vì DE // AF

      DF // AE

`=>` Tứ giác AEDF là hình bình hành

Lại có : $\widehat{A}$`=90^0`

`=>AEDF` là hình chữ nhật

Thêm vào đó là AD là tia phân giác

`=>AEDF` là hình vuông

d)Vì `AEDF` là hình vuông `=>`$\widehat{AED}$=$\widehat{BED}$`=90^0`

Áp dụng định lý Py-ta go vào tam giác vuông BED : 

`BE^2+ED^2=BD^2`

`(20-AE)^2+AE^2=BD^2` (do AEDF là hình vuông nên AE=ED)

Triển khai hằng đẳng thức:

`=>400-40.AE+AE^2+AE^2=(580/41)^2`

`=>400-40.AE+ 2.AE^2 - (580/41)^2=0`

`=>2AE.(40+2)=400+(580/41)^2`

`=>AE=10,(24390)=420/41`

`=>S(AEDF)≈104,94cm^2`