Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

Xét `triangleAME` và `triangleBMC` có:

`ME=MC`  $(gt)$

`\hat{AME}=\hat{BMC}`  (đối đỉnh)

`BM=MA`  ( `M` là trung điểm `AB`)

`=>` `triangleAME=triangleBMC` `(c.g.c)`

`=>AE=BC`  (hai cạnh tương ứng)               `(1)`

Xét `triangleCNB` và `triangleANF` có:

`BN=NF`  $(gt)$

`\hat{ANF}=\hat{CNB}`  (đối đỉnh)

`AN=NC`  ( `N` là trung điểm `AC`)

`=>` `triangleCNB=triangleANF` `(c.g.c)`

`=>AF=BC`  (hai cạnh tương ứng)               `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>AE=AF`                            

Vì `triangleAME=triangleBMC` $(cmt)$

`=>\hat{EAM}=\hat{ABC}`    (hai góc tương ứng)

Vì `triangleCNB=triangleANF` $(cmt)$

`=>\hat{FAN}=\hat{ACB}`    (hai góc tương ứng)

Xét `triangleABC` có:

`\hat{ABC}+\hat{BAC}+\hat{ACB}=180^{o}`  (định lí tổng `3` góc của tam giác)

Mà `\hat{EAM}=\hat{ABC}`  $(cmt)$

      `\hat{FAN}=\hat{ACB}`  $(cmt)$

`=>\hat{EAM}+\hat{BAC}+\hat{FAN}=180^{o}`   

`=>E,A,F` thẳng hàng                                 

Lại có: `AE=AF`  $(cmt)$

`=>A` là trung điểm của `EF`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Xét $\Delta AME$ và $\Delta BMC$, ta có:
$\begin {cases} AM = BM (M \text{ là trung điểm của AB}) \\ ME = MC (gt) \\ \widehat{AME} = \widehat{BMC}(\text{2 góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta AME = \Delta BMC(c - g - c)$

$\Rightarrow BC = AE$(2 cạnh tương ứng)

 Xét $\Delta ANF$ và $\Delta CNB$, ta có:
$\begin {cases} AN = CN (N \text{ là trung điểm của AC}) \\ NF = NB (gt) \\ \widehat{ANF} = \widehat{CNB}(\text{2 góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ANF = \Delta CNB(c - g - c)$

$\Rightarrow BC = AF$(2 cạnh tương ứng)

Ta có:

$\begin {cases} BC = AE (cmt) \\ BC = AF (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow AE = AF$

Ta có:

$\Delta AME = \Delta BMC$

$\Rightarrow \widehat{EAM} = \widehat {ABC}$(2 góc tương ứng)(1)

Ta cũng có:

$\Delta ANF = \Delta CNB$

$\Rightarrow \widehat{FAN} = \widehat{ACB}$(2 góc tương ứng)(2)

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \widehat{EAM} + \widehat{FAN} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180^o$(tổng 3 góc trong 1 tam giác)

$\Rightarrow \widehat{EAM} + \widehat{FAN} + \widehat {BAC} = 180^o$

$\Rightarrow E,A,F$ thẳng hàng

Mà $AE = AF(cmt)$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $EF$

#Nemesis