`a)` `∆MBC` nội tiếp `(O)` có `BC` là đường kính 

`=>∆MBC` vuông tại `M`

`=>CM`$\perp AB$ tại `M`

`∆NBC` nội tiếp `(O)` có `BC` là đường kính

`=>∆NBC` vuông tại `N`

`=>BN`$\perp AC$ tại `N`

Xét $∆ABC$ có:

$\quad BN\perp AC$

$\quad CM\perp AB$

$\quad BN$ cắt $CM$ tại $H$

`=>H` là trực tâm $∆ABC$

`=>AH`$\perp BC$ (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $OM=OB=R$

`=>∆OBM` cân tại `O`

`=>\hat{MBO}=\hat{BMO}` `(1)`

Gọi $D$ là giao điểm của `AH` và `BC`

Vì $AH\perp BC$

`=>∆ABD` vuông tại `D`

`=>\hat{ABD}+\hat{BAD}=90°`

`=>\hat{MBO}+\hat{MAE}=90°` `(2)`

$\\$

Vì `E` là trung điểm $AH$ (gt)

`=>ME` là trung tuyến $∆MAH$ vuông tại $M$

`=>ME=AE=HE=1/ 2AH`

`=>∆EAM` cân tại `E`

`=>\hat{AME}=\hat{MAE}` `(3)`

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BMO}+\hat{AME}=90°`

`=>180°-(\hat{BMO}+\hat{AME})=180°-90°=90°`

`=>\hat{OME}=90°`

`=>ME`$\perp OM$

`=>ME` là tiếp tuyến tại `M` của `(O)` (đpcm)

$\\$

`c)` Vì `E` là trung điểm $AH$ (gt)

`=>NE` là trung tuyến $∆NAH$ vuông tại $N$

`=>NE=AE=HE=1/ 2AH`

Mà `ME=AE` (câu b)

`=>NE=ME`

Ta lại có: `ON=OM=R`

`=>OE` là trung trực của `MN`

`=>OE`$\perp MN$ tại $F$ với `F` là trung điểm $MN$

`=>MF=1/2MN`

Ta có: 

`S_{∆OME}=1/ 2 OE.MF`

`=1/2 .OE. 1/2 MN`

`=1/ 4 MN. OE`

Mà $∆OME$ vuông tại $M$

`=>S_{∆OME}=1/ 2 ME.MO`

`=>1/ 4MN.OE=1/2 ME.MO`

`=>4. 1/ 4 MN.OE=4 . 1/2 MN.MO`

`=>MN.OE=2ME.MO` (đpcm)

$\\$

`d)` Nếu $AH=BC$

Xét $∆ANH$ và $∆BNC$ có:

`\qquad \hat{ANH}=\hat{BNC}=90°`

`\qquad AH=BC`

`\qquad \hat{NAH}=\hat{NBC}` (cùng phụ `\hat{ACD})`

`=>∆ANH=∆BNC` (cạnh huyền-góc nhọn)

`=>AN=BN`

Xét $∆ABN$ vuông tại `N` ta có:

`\qquad tan\hat{BAN}={BN}/{AN}={AN}/{AN}=1`

Vì `\hat{BAN}=\hat{BAC}`

`=>tan\hat{BAC}=1`