a) Ta có:

$\widehat{BDC} = \widehat{BEC} = 90^o$ (cùng nhìn đường kính $BC$)

$\Rightarrow BD\perp AC;\, CE\perp AB$

mà $BD\cap CE = \{H\}$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow AI\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{AIB} = 90^o$

Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{ADH} + \widehat{AEH} = \widehat{BDA} + \widehat{CEA} = 180^o$

Do đó $ADHE$ là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $ADIB$ có:

$\widehat{ADB} = \widehat{AIB} = 90^o$

$\widehat{ADB}$ và $\widehat{AIB}$ cùng nhìn cạnh $AB$

Do đó $ADIB$ là tức giác nội tiếp

b) Xét $ΔAIB$ và $ΔCEB$ có:

$\widehat{I} = \widehat{E} = 90^o$

$\widehat{B}:$ góc chung

Do đó $ΔAIB \sim ΔCEB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{BI}{BE}$

$\Rightarrow BE.BA = BI.BC$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CD.CA = CI.CB$

Do đó:

$BE.BA + CD.CA = BI.BC + CI.CB = BC(BI+CI) = BC^2$

c) $ΔABC$ đều

$\Rightarrow H$ là trọng tâm $ΔABC$

$\Rightarrow I \equiv O$

$\Rightarrow AI = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = a\sqrt3$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$

Ta có:

$ADHE$  là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^o$

$\Rightarrow AH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $ADHE$

$\Rightarrow C_{(K)} = 2\pi.AH = \dfrac{4\pi a\sqrt3}{3}$