Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Đặt $y = x$ + $\frac{1}{x}$ ⇒ $y^{2}$ = $x^{2}$ + $\frac{1}{x^{2}}$ + 2

⇒ $y^{2} - 2 $ = $x^{2}$ + $\frac{1}{x^{2}}$(1)

⇒ $y^{4} - 4y^{2} + 4 $ = $x^{4}$ + $\frac{1}{x^{4}}$ + 2

⇒ $y^{4}$ - $(x^{4} + \frac{1}{x^{4}})$ - 2 =  $4(y^{2} - 1)$ (2)

$\frac{x^{4} + 1999.x^{2} + 1}{2x^{2}}$= $\frac{1}{2}$($x^{2}$ + $\frac{1}{x^{2}}$ + 1999)= $\frac{1}{2}$.($y^{2} + 1997$) (3)

Thay (1); (2); (3) vào biểu thức:

H = $\frac{4(y^{2} - 1)}{y^{4} + y^{2} - 2}$.[$\frac{1}{2}$.($y^{2} + 1997$)]

= $\frac{4(y^{2} - 1)}{(y^{2} - 1).(y^{2} + 2)}$.[$\frac{1}{2}$.($y^{2} + 1997$)]

= $\frac{2(y^{2} + 1997)}{y^{2} + 2}$ = $\frac{2[(x + \frac{1}{x})^{2} + 1997]}{(x + \frac{1}{x})^{2} + 2}$ 

b) Với $x$ thỏa $x^{2}$ - $4x + 1 = 0$ ⇒ $x^{2}$ + 1 = $4x$ ⇔ $x$ + $\frac{1}{x}$ $= 4$

thay vào biểu thức tính ra : H = $\frac{671}{3}$