Đáp án:

 a) $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)$

b) $\tan \alpha  = \dfrac{{\sqrt {46} }}{{23}}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$SA \bot (ABC) \Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$

Khi đó: 

$\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$

Mà $\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = a;BC = 2a\\
 \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 5 
\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};SA = 3a;AC = a\sqrt 5 \\
 \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{3a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}\\
 \Rightarrow \widehat {SCA} = \arctan \left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)\\
 \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)
\end{array}$

Vậy $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}} \right)$

b) Kẻ $BD\bot (SAC)=D$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

$ \Rightarrow D$ là hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$

$ \Rightarrow \alpha = \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SD} \right) = \widehat {BSD}$

$ \Rightarrow \tan \alpha  = \tan \widehat {BSD} = \dfrac{{BD}}{{SD}}\left( {\Delta BSD;\widehat {BDS} = {{90}^0}} \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = a;BC = 2a;BD \bot AC = D\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{B{D^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}}\\
AD = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BD = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\\
AD = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}
\end{array} \right.\\
\Delta SAD;\widehat {SAD} = {90^0};SA = 3a;AD = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\\
 \Rightarrow SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {230} }}{5}
\end{array}$

Khi đó:

$\tan \alpha  = \dfrac{{BD}}{{SD}} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{{a\sqrt {230} }}{5}}} = \dfrac{{\sqrt {46} }}{{23}}$

Vậy $\tan \alpha  = \dfrac{{\sqrt {46} }}{{23}}$