Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 1)a) vì ABCD là hcn nên AD = BC =9 (cm)

áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABD vuông tại A có:

 BD² = AB² + AD² = 12² + 9² = 225 ⇒ BD = 15(cm)

áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào tam giác BCD  có:

$\frac{EC}{ED}$ = $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{9}{15}$ = $\frac{3}{5}$

b) vì ABCD là hcn nên AB // CD ⇒ góc ABH = góc BDC (hai góc so le trong)

xét Δ AHB và Δ BCD có:

góc AHB = góc BCD = 90; góc ABH = góc BDC 

⇒ Δ AHB đồng dạng với Δ BCD (đpcm)

2) a) xét Δ BAD và Δ ADC có:

góc BAD = góc ADC = 90; $\frac{BA}{AD}$ = $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{2}{3}$ 

⇒ Δ BAD đồng dạng với Δ ADC (đpcm)

b) vì Δ BAD đồng dạng với Δ ADC ⇒ góc BDA = góc ACD hay góc BDA = góc OCD

ta có: góc BDA + góc ODC = 90 ⇔ góc OCD + góc ODC = 90 

Δ OCD có: góc DOC + góc OCD + góc ODC = 180 ⇔ góc DOC + 90 =180 ⇔ góc DOC =90

⇒ OC ⊥ OD hay AC ⊥ BD (đpcm)

c) vì ABCD là hình thang vuông tại A và D nên AB // CD ⇒ góc BAO = góc DCO (hai góc so le trong)

xét Δ AOB và Δ COD có:

góc BAO = góc DCO; góc AOB = góc COD (đối đỉnh)

⇒ Δ AOB đồng dạng với Δ COD 

$\frac{S_{AOB}}{S_{COD}}$ = ($\frac{AB}{CD}$)² = ($\frac{4}{9}$)² = $\frac{16}{81}$

d) vì AB // CD ⇒ Δ KAB đồng dạng với Δ KDC 

⇒ $\frac{KA}{KD}$ = $\frac{AB}{DC}$ = $\frac{4}{9}$ 

⇒ 4KD=9KA ⇔ 4 (KA +AD) = 9KA ⇔ 4KA + 4AD = 9KA ⇔ 5KA = 4AD ⇔ 5KA = 4.6 = 24

⇔ KA = 4,8 (cm)