Đa giác có $1\;999$ cạnh $\to$ Có $1\;999$ đỉnh

$\to$ Có 2 đỉnh kề nhau được sơn cùng một màu

Đa giác đã cho có $1\;999$ cạnh $\to$ Tồn tại 1 đỉnh $\in$ đường trung trực của đoạn thẳng được sơn cùng một màu. Lúc đó xảy ra 2 trường hợp: 

+) Điểm đó được sơn bằng màu xanh $\to$ có hai điểm $X;Y$ là các đỉnh khác của đa giác kề với hai điểm của đoạn thẳng tồn tại một đỉnh nằm trên đường trung trực

+) Điểm đó được sơn bằng màu đỏ $\to$ Tam giác tạo bởi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng được sơn cùng mau đó và đoạn thẳng đó.

$\to Q.E.D$

 Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh. Do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là P và Q đc sơn bởi cùng 1 màu- màu đỏ (Theo nguyên tắc dirichlet) 
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ nên phải tồn tại 1 đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Giả sử đỉnh đó là A 
- Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A, P, Q đc tô cùng màu đỏ 
- Nếu A tô màu xanh. Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác nhau của đa giác kề vs P và Q 
- Nếu cả 2 đỉnh B và C đc tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có 3 đỉnh cùng tô màu xanh 
- Nếu ngược lại, 1 trong 2 đỉnh B và C đc tô màu đỏ thì tam giác BPQ hoặc tam giác CPQ là tam giác cân có 3 đỉnh đc tô màu đỏ

NGUYÊN LÍ DIRICHLE