Gọi `H=AD∩ FM, K=ME∩CD`

Dễ dàng chứng minh được :

`AHME` là hình vuông

`BEMF` là hình chữ nhật

`DHMK` là hình chữ nhật

`KMFC` là hình vuông

Đặt `AE=m, BE=n`

`-> AE=ME=HM=AH=BF=DK=m`

Và `BE=MF=CF=CK=MK=HD=n`

`->m,n>0`

`S_{\triangle ADE}=1/2 . AD . AE = 1/2 . a . m =(am)/2`

`S_{\triangle BEF}=1/2 . BE . BF = 1/2 . n .m =(mn)/2`

`S_{\triangle DFC}=1/2 . CD . CF = 1/2 . a . n = (an)/2`

`S_{ABCD}=a^2`

`-> S_{\triangle DEF}=a^2 - (am)/2 - (an)/2 - (mn)/2`

`->S_{\triangle DEF}=a^2 - 1/2 (am+an)-(mn)/2`

`->S_{\triangle DEF}=a^2 - a/2 (m+n)-(mn)/2`

`-> S_{\triangle DEF}=a^2 - a^2/2 - (mn)/2`

`->S_{\triangle DEF}=a^2/2 - (mn)/2`

Do `a` luôn cố định `->a^2/2` cố định

Vậy để `S_{\triangle DEF}` nhỏ nhất

`-> -(mn)/2` nhỏ nhất

`->mn/2` lớn nhất

`->mn` lớn nhất

Thật vậy áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `m,n` ta được :

`m+n>= 2\sqrt{mn}`

`-> (m+n)^2>=4mn`

`-> mn\le(m+n)^2/4= a^2/4`

`-> -mn >= -a^2/4`

`-> S_{\triangle DEF}>= a^2/2 - a^2/4 . 1/2 = (3a^2)/8`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `M` là trung điểm của `AC`