Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a)  áp dụng định lý Pytago vào Δ ABC vuông tại A có: 

BC² = AB² + AC² = 15² +20² = 625 ⇒ BC =25 

áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào tam giác ABC có:

$\frac{CD}{AD}$ = $\frac{CB}{AB}$ ⇔ $\frac{AC-AD}{AD}$ = $\frac{25}{15}$

⇔ $\frac{AC}{AD}$ -1=$\frac{5}{3}$ ⇔ $\frac{20}{AD}$ = $\frac{8}{3}$

⇔ AD = $\frac{3.20}{8}$=7,5

b) Xét Δ ABH và Δ CBA có: góc AHB = góc CAB =90; góc B chung

⇒ Δ ABH đồng dạng với Δ CBA (đpcm)

c) vì Δ ABH đồng dạng với Δ CBA ⇒$\frac{BH}{BA}$ = $\frac{AB}{CB}$

⇒ BH = $\frac{AB²}{CB}$ = 9

áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có:

AH² = AB² - BH²= 15² - 9² =144 ⇒ AH = 12

d) vì BD là tia phân giác của góc ABC nên góc ABD = góc HBE

xét Δ ABD và Δ HBE có:

góc BAD = góc BHE =90; góc ABD = góc HBE

⇒ Δ ABD đồng dạng với Δ HBE ⇒ $\frac{BD}{BE}$ = $\frac{AD}{HE}$ ⇒ BD.HE=BE.AD (đpcm)

e) áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác vào tam giác ABH có:

$\frac{EH}{AE}$ = $\frac{BH}{AB}$ ⇒ $\frac{AH-AE}{AE}$ = $\frac{9}{15}$

⇒ $\frac{AH}{AE}$ -1= $\frac{3}{5}$ ⇒ $\frac{12}{AE}$ = $\frac{8}{5}$

⇒ AE = $\frac{5.12}{8}$ =7,5

⇒ AE =AD = 7,5 ⇒ ΔADE cân tại A

ΔADE cân tại A có AM là đường trung tuyến ⇒ AM cũng là đường cao

⇒ AM ⊥ DE ⇒ AN ⊥ BM

tam giác ABN có: BM ⊥ AN; AH ⊥ AB; BM ∩ AH = E

⇒ E là trực tâm của Δ ABN ⇒ NE ⊥ AB (đpcm)

a)  Áp dụng định lý Pytago ta có: 

BC² = AB² + AC² = 15² +20² = 625 

=> BC =25 cm

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ΔABC có:

\(\frac{AB}{AD}\) = \(\frac{BC}{DC}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{AB}{AD}\) = \(\frac{BC}{DC}\) = \(\frac{AB+ BC}{AC}\) = \(\frac{40}{20}\) =2

=> \(\frac{AB}{AD}\) = 2

=> AD = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{15}{2}\) = 7,5 (cm)

b) Xét Δ ABH và Δ CBA có:

\(\widehat{AHB}\)= \(\widehat{ CAB}\) =90

 \(\widehat{B}\) chung

⇒ Δ ABH đồng dạng với Δ CBA (đpcm)

c) Δ ABH đồng dạng với Δ CBA( cm cau b)

⇒\(\frac{BH}{BA}\) = \(\frac{BA}{CB}\)

⇒ AB² = BH . CB

=> BH = \(\frac{AB²}{CB}\) = 9

áp dụng định lý Pytago cho Δ ABH vuông tại H ta có:

AH² = AB² - BH²= 15² - 9² =144 

=>AH = 12

d) BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) =>  \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{HBE}\)

xét Δ ABD và Δ HBE có:

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{BHE}\) =90 độ ;

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{HBE}\)

⇒ Δ ABD đồng dạng với Δ HBE

⇒\(\frac{BD}{AD}\) = \(\frac{BE}{HE}\)

⇒ BD.HE=BE.AD (đpcm)

e) \(\widehat{ADB}\) + \(\widehat{ABD}\) = 90 độ

    \(\widehat{EBH}\) + \(\widehat{BEH}\) = 90 độ

=> \(\widehat{ADB}\) + \(\widehat{ABD}\)  = \(\widehat{EBH}\) + \(\widehat{BEH}\) 

mà \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBH}\)

=> \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{BEH}\)

=> \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{AED}\)

=> ΔAED cân tại A
ΔAED cân tại A có AM là đường trung tuyêns

=> AM là đường cao

=> AM⊥BE

=> BE là đường cao ΔABN

Xét ΔABN có AE, BE là đường cao

=> NE cũng là đường cao

=> NE ⊥ AB